Риман коллекторында геодетиканы нисек табырға?

Риман коллекторында геодездарҙы табыу дифференциаль геометрияла мауыҡтырғыс һәм мөһим тема булып тора һәм физика, инженерлыҡ һәм информатикала күп һанлы ҡулланыуға эйә. Коллективтар менән тәьмин итеүсе булараҡ, геодетиканы нисек табырға икәнен аңлау коллекторҙарының математик үҙенсәлектәре тураһында белемдәребеҙҙе тәрәнәйтеп кенә ҡалмай, ә клиенттарыбыҙға төрлө өлкәләрҙә яҡшыраҡ хеҙмәт итергә ярҙам итә. Был блогтағы яҙмала, беҙ геодетика табыу өсөн төрлө ысулдарҙы тикшерәсәкбеҙ риман коллекторында.

2

Риман коллекторы — риман метрикаһы менән йыһазландырылған дифференциаль коллектор, был күп яҡтың һәр нөктәһендәге тангенслы киңлектәге шыма үҙгәргән эске продукт. Риман метрикаһы беҙгә ҡойроҡтар оҙонлоҡтарын, векторҙар араһындағы мөйөштәрҙе һәм күп яҡлы күләмдәрҙе үлсәргә мөмкинлек бирә.

Риман күпләп геодезикаһы — ике нөктә араһындағы оҙонлоҡто локаль рәүештә минималь кимәлгә еткергән ҡойроҡтар — геодезия тигеҙләмәһен ҡәнәғәтләндергән ҡойроҡтар. Интуитив рәүештә геодез — евклидий киңлегенең тура һыҙыҡтарына оҡшаш, күпләп өҫтөндәге «туранан-тура» ҡойроҡтары. Мәҫәлән, сфера буйынса геодетика ҙур түңәрәктәр булып тора, улар сферҙы үҙ үҙәге аша үткән яҫылыҡ менән киҫештереп алынған түңәрәктәр.

2. Геодезия тигеҙләмәһе

Риман коллекторында геодездарҙы табыу өсөн иң төп ысул – геодезик тигеҙләмәһен хәл итеү. Әйҙәгеҙ, (М, g)) Римания коллекторы булһын, унда (М) — коллектор һәм (г) — риман метрикаһы. Ҡайһы бер ҡойроҡ (\гамма: I \ to M) бирелгән, унда (I) асыҡ интервал булып тора (\матбб{R}), геодезия тигеҙләмәһе:

( \frac{d^ gamma^}{dt^2}+\Гамма_{jk}^{i}^ фрак!

бында (\гамма^{i}) — ҡойроҡтоң локаль координаталары (т) — ҡойроҡтың параметры, ә (\Гамма_{jk}^{i}) — икенсе төрөнөң Христоффель символдары, улар римания метрикаһы (ж) һәм уның беренсе - заказ өлөшләтә сығарылыштары йәһәтенән билдәләнгән.

Христоффель символдары менән бирелә:

1990 йылда был йүнәлештәге эштәрҙең иң мөһимдәренең береһе булып тора.

бында (g_{ij}) — локаль координаталар системаһында Риман метрикаһының компоненттары һәм (g^{il}) — матрицаның кире ((g_{ij})).

Геодетиканы табыу өсөн беҙгә геодезия тигеҙләмәһе менән бирелгән ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләр (ОДЭ) тәртипте икенсеһе хәл итергә кәрәк. Быны һанлы рәүештә Runge - Kutta ысулы кеүек ысулдар ҡулланып эшләргә мөмкин. Ябай Риманний коллекторҙар өсөн, мәҫәлән, евклидий киңлеге ( \ matb{R}^{n}) стандарт метрик (g_{ij}=\delta_{ij}) (Кронекер дельтаһы), Кристоффель символдары барыһы ла нуль, ә геоденик тигеҙләмәһе кәмей (\frac{d^}}{d^{2}} = . 0). Был тигеҙләмәнең сиселештәре — тура һыҙыҡтар (\гамма^{i}(t)=a^{i}т + b^{i}), ҡайҙа (а^{i}) һәм (b^{i}) константалар.

3. Вариация алымы

Геодетика табыу өсөн тағы бер ысул – вариация алымы аша. Ҡыйырсыҡтың оҙонлоғо (\гамма: [а,б] \to M) Риман күпләп ((М, g)) өҫтөндә:

(L( gamma)=int_{a}^{b}\sqrt{g(\dot{gamma}(t)(t)\dot{gamma}(t))}dt,\dot(t)) .

ҡайҙа (\dot{\гамма}(т)) — тангенслы вектор (\гамма) (\гамма(т) нөктәһендә) ҡойроҡҡа тиклем (\гамма).

Геодезика — оҙонлоҡтағы функциональ (L) тәнҡитле нөктәләре булып тора. Тәнҡитле нөктәләрҙе табыу өсөн беҙ бер - параметр ғаиләһен ҡарайбыҙ, ҡойроҡтар (\гамма_{s}(t)) шундай (\гамма_{0}(t)=\гамма(t))) һәм вариациялар иҫәп-хисап ҡулланыу. Параметрға ҡарата оҙонлоҡтағы функциональ функциональ (\дельта L) беренсе вариацияһын алып, уны нулгә тиң ҡуйып, геодезик тигеҙләмәһен сығара алабыҙ.

Вариация алымы геометрик һәм интуитив аңлауҙы тәьмин итеү өҫтөнлөгөнә эйә. Ул шулай уҡ геодетиканың мөһим үҙенсәлектәрен иҫбатларға мөмкинлек бирә, мәҫәлән, бирелгән башланғыс шарттар менән геодетиканың булыуы һәм үҙенсәлеге.

4. Геодезик ағым һәм Гамильтон формализмы

Геодезия ағымы төшөнсәһе риман коллекторында геодетиканы өйрәнеүҙең ҡөҙрәтле ысулын тәьмин итә. Геодезия ағымы — күпләп (М). (p\in M) һәм тангент векторы (v\in T_{p}M), геодезия ағымы (\varphi_{t}) ((р, в) (ТМ)) нөктәһен ((( gamma(t),\gamma}(t)) нөктәһенә картаға төшөрөп (\гамма(т)) геодез (р) башланғыс тиҙлек менән башлап (v) менән картаға (v).

Геодезик ағымды гамильтон системаһы йәһәтенән һүрәтләргә мөмкин. Беҙ гамильтон функцияһын билдәләй алабыҙ (H: TM\to\matb{R}) тангенс өйөмө (ТМ) тип (H(p, v)=\frac{1}{2}g_{p}(v, v)). Гамильтон тигеҙләмәләрен система өсөн хәрәкәт ((ТМ, Н)) геодезия тигеҙләмәһенә тиң.

Гамильтон формализмын ҡулланып, беҙ геодетика тәртибен өйрәнеү өсөн симплектик геометрия һәм динамик системаларҙан ысулдар ҡуллана алабыҙ. Мәҫәлән, беҙ геодездың тотороҡлолоғон, периодик геодиканың булыуы, бөтә геодетика йыйылмаһының глобаль структураһын да анализлай алабыҙ.

5. Инженерлыҡ һәм беҙҙең күп һанлы продукцияла ҡушымталар

Инженерлыҡта Риман комплекттарында геодез концепцияһы төрлө өлкәләрҙә ҡушымталар бар. Мәҫәлән, робототехникала, робот ҡулының күп үлсәмле конфигурация киңлегендә хәрәкәтен планлаштырғанда, ике конфигурация араһындағы иң ҡыҫҡа юлды (геодезик) табыу энергия ҡулланыуҙы оптимальлаштыра һәм хәрәкәт ваҡытын кәметә ала.

Күп һанлы тәьмин итеүсе булараҡ, беҙ тәҡдим итәбеҙ, киң диапазонлы юғары - сифатлы күп яҡлы продукция, мәҫәлән, [Клапандар менән нержавеющий тимер коллекциялар](/клапан/культивтар/төшөрөү - тимер - менән - клапандар менән.html), [Ҡарашсыҡтар өсөн һыу бүлергә] (/клапан/күптән түгел/ҡорамалар - комплект - һыу өсөн - һыу - һыу - һыу - һыу - һыу - һыу - һыу. sill.html), һәм [Ҡорос менән клапандар менән Мәғлүмәттәр](/клапан/мөсиктәр/ҡойроҡ - коллекторҙар - менән - клапандар.html). Был коллекторҙар төрлө тармаҡтарҙа клиенттарыбыҙ ихтыяждарын ҡәнәғәтләндерер өсөн тәғәйенләнгән, шул иҫәптән сантехника, ОТВ, һәм шыйыҡса менән идара итеү системалары.

Математик үҙенсәлектәрен аңлау коллекторҙары, мәҫәлән, геодетика барлығы һәм тәртибе, беҙгә ярҙам итә ала, һөҙөмтәлерәк һәм ышаныслыраҡ күп һанлы продукция проектлау. Мәҫәлән, шыйыҡса бүлелеше коллекторҙарын проектлауҙа геодетика төшөнсәһен ағым юлдарын оптимальлаштырыу һәм баҫымдың төшөүен минималь кимәлгә еткерер өсөн ҡулланырға мөмкин.

6. Һатып алыу өсөн һығымта һәм бәйләнеш

Һүҙҙе йомғаҡлап, риман коллекторында геодетика табыу – күп төрлө ысулдар һәм ҡулланыу менән бай һәм ҡатмарлы тема. Геодезия тигеҙләмәһен хәл итеү ашамы, вариацион алымды ҡулланыпмы, йәки гамильтон формализмын ҡулланыу, һәр ысул геодетиканың геометрик һәм динамик үҙенсәлектәре тураһында үҙенсәлекле төшөнсәләр бирә.

Алдынғы коллекторҙар булараҡ тәьмин итеүсе булараҡ, беҙ юғары - сифатлы коллектор продукцияһын һәм клиенттарҙы хеҙмәтләндереүҙең шәп тәьмин итеүгә йүнәлтелгән. Әгәр һеҙ беҙҙең продукция менән ҡыҙыҡһына, мәҫәлән, [Клапандар менән нержавеющий тимер коллекциялар](/клапан/коллекттар/төшөнкөлөк - тимер - коллекторҙар - менән - клапан.html), [Ҡорос өсөн һыу бүлергә](/класс/күпселектәр/күпселек - өсөн - һыу - sixtml). Клапандар](/клапан/мөсиктәр/ҡойроҡ - коллекторҙар - менән - клапан.html), рәхим итеп, беҙҙең менән бәйләнешкә инеү өсөн иркенләп һатып алыу һәм артабан фекер алышыу. Беҙ һеҙгә хеҙмәт итеүҙе һәм һеҙҙең күп һанлы ихтыяждарҙы ҡәнәғәтләндереүҙе көтәбеҙ.

Һылтанмалар

• Ду Кармо, Манфредо Пердиган. Риман геометрияһы. Бирхаузер, 1992.
• Ли, Джон М. Спрингера, 1997.
• Спивак, Майкл. Дифференциаль геометрияға комплекслы инеш. 1979 йылда нәшриәт йәки һәләкәт, 1979.